求 1+2+...+n ，要求不能使用乘除法、for、while、if、else、switch、case等关键字及条件判断语句

首先我们梳理一下，这题要求我们不能使用乘除法、for、while、if、else、switch、case 等关键字及条件判断语句，因此我们手里能用的工具很少，列举出来发现只有加减法，赋值，位运算符以及逻辑运算符。

方法一：递归

思路和算法

试想一下如果不加限制地使用递归的方法来实现这道题，相信大家都能很容易地给出下面的实现（以 C++ 为例）：

class Solution {
public:
    int sumNums(int n) {
        return n == 0 ? 0 : n + sumNums(n - 1);
    }
};

通常实现递归的时候我们都会利用条件判断语句来决定递归的出口，但由于题目的限制我们不能使用条件判断语句，那么我们是否能使用别的办法来确定递归出口呢？答案就是逻辑运算符的短路性质。

以逻辑运算符 && 为例，对于 A && B 这个表达式，如果 A 表达式返回 False，那么 A && B 已经确定False，此时不会去执行表达式B。同理，对于逻辑运算符 ||，对于 A || B 这个表达式，如果 A 表达式返回True，那么 A || B 已经确定为True，此时不会去执行表达式B。

利用这一特性，我们可以将判断是否为递归的出口看作 A && B 表达式中的 A 部分，递归的主体函数看作 B 部分。如果不是递归出口，则返回 True，并继续执行表达式 B 的部分，否则递归结束。当然，你也可以用逻辑运算符 || 给出类似的实现，这里我们只提供结合逻辑运算符 && 的递归实现。

class Solution {
public:
    int sumNums(int n) {
        n && (n += sumNums(n-1));
        return n;
    }
};

复杂度分析

时间复杂度：O(n)。递归函数递归 n 次，每次递归中计算时间复杂度为 O(1)，因此总时间复杂度为 O(n)。
空间复杂度：O(n)。递归函数的空间复杂度取决于递归调用栈的深度，这里递归函数调用栈深度为 O(n)，因此空间复杂度为O(n)。

方法二：快速乘

思路和算法

考虑 A 和 B 两数相乘的时候我们如何利用加法和位运算来模拟，其实就是将 B 二进制展开，如果 B 的二进制表示下第 i 位为 1，那么这一位对最后结果的贡献就是A*(1<<i)，即A<<i。我们遍历 B 二进制展开下的每一位，将所有贡献累加起来就是最后的答案，如果两数相乘已经超过数据范围，但取模后不会超过，我们就可以利用这个方法来拆位取模计算贡献，保证每次运算都在数据范围内。

下面给出这个算法的 C++ 实现：

int quickMulti(int A, int B) {
    int ans = 0;
    for ( ; B; B >>= 1) {
        if (B & 1) {
            ans += A;
        }
        A <<= 1;
    }
    return ans;
}

回到本题，由等差数列求和公式我们可以知道 1 + 2 + ... + n1+2+⋯+n 等价于[n(n+1)]/2，对于除以 2 我们可以用右移操作符来模拟，那么等式变成了 n(n+1)>>1，剩下不符合题目要求的部分即为 n(n+1)，根据上文提及的快速乘，我们可以将两个数相乘用加法和位运算来模拟，但是可以看到上面的 C++ 实现里我们还是需要循环语句，有没有办法去掉这个循环语句呢？答案是有的，那就是自己手动展开，因为题目数据范围 nn 为[1,10000]，所以 n 二进制展开最多不会超过 14 位，我们手动展开 14 层代替循环即可，至此满足了题目的要求，具体实现可以参考下面给出的代码。

class Solution {
public:
    int sumNums(int n) {
        int ans = 0, A = n, B = n + 1;

        (B & 1) && (ans += A);
        A <<= 1;
        B >>= 1;

        (B & 1) && (ans += A);
        A <<= 1;
        B >>= 1;

        (B & 1) && (ans += A);
        A <<= 1;
        B >>= 1;

        (B & 1) && (ans += A);
        A <<= 1;
        B >>= 1;

        (B & 1) && (ans += A);
        A <<= 1;
        B >>= 1;

        (B & 1) && (ans += A);
        A <<= 1;
        B >>= 1;

        (B & 1) && (ans += A);
        A <<= 1;
        B >>= 1;

        (B & 1) && (ans += A);
        A <<= 1;
        B >>= 1;

        (B & 1) && (ans += A);
        A <<= 1;
        B >>= 1;

        (B & 1) && (ans += A);
        A <<= 1;
        B >>= 1;

        (B & 1) && (ans += A);
        A <<= 1;
        B >>= 1;

        (B & 1) && (ans += A);
        A <<= 1;
        B >>= 1;

        (B & 1) && (ans += A);
        A <<= 1;
        B >>= 1;

        (B & 1) && (ans += A);
        A <<= 1;
        B >>= 1;

        return ans >> 1;
    }
};